Definisi Vektor

rumus penjumlahan vektor bisa didapat dari persamaan berikut

Menurut aturan cosinus dalam segitiga,

Untuk vektor yang lebih dari 2, sama saja. Lakukan satu demi satu hingga ketemu resultan akhirnya.  Dari gambar di atas, V = A + B dan R = V + C atau R  = A + B + C

Pengurangan Vektor

Pengurangan Vektor pada prinsipnya sama dengan penjumlahan, cuma yang membedakan adalah ada salah satu vektor yang  mempunyai arah yang berlawanan. Misalnya vektor A bergerak ke arah timur dan B bergerak ke arah barat maka resultannya

R = A + (-B) = A – B

Rumus Cepat Vektor

berikut rumus cepat panduan mengerjakan soal vektor fisika

Jika α = 0^o maka R = V₁ + V₂

Jika α = 90^o maka R = √(V_1² + V₂²)

Jika α = 180^o maka R = | V₁ + V₂ | –> nilai mutlak

Jika α = 120^o dan V₁ = V₂ = V maka R = V

Rumus Perkalian Skalar Dua Vektor, Tanpa panjang lebar lagi yo check it out !

Rumus Perkalian Skalar Dua Vektor

Jika a dan b vektor-vektor tak nol dan α sudut di antara vektor a dan b, maka rumus perkalian skalar vektor a dan b adalah :
a . b = |a||b| cos α.

Jika dinyatakan dalam bentuk pasangan terurut, maka rumus perkalian skalar dua vektor adalah sebagai berikut :

Jika a = (a₁, a₂, .... , a_n) dan b = (b₁, b₂, ... , b_n) adalah sebarang vektor pada Rⁿ, maka rumus hasil kali atau perkalian skalarnya adalah :
a . b = a₁b₁ + a₂b₂ + ... + a_nb_n

Rumus Proyeksi Vektor

Rumus panjang proyeksi vektor a pada vektor b :

|c| = (a . b)/|b|

Rumus proyeksi vektor a pada vektor b adalah :

c = ((a . b)/|c|²)b

Contoh soal :

Diketahui vektor a = (1, -1, 0) dan b = (-1, 2, 3). Tentukanlah :

a. Panjang proyeksi vektor a pada vektor b.
b. Vektor proyeksi a pada vektor b

Jawab :
a. Misalkan vektor proyeksi a pada b adalah c, maka :
|c| = (a . b)/|b|
|c| = (1 . (-1) + (-1) . 2 + 0 . 2)/√(-1)² + 2² + 2²
|c| = (-1 + (-2) + 0)/√1 + 4 + 4
|c| = -3/√9
|c| = -3/3
|c| = -1
|c| = |-1| 
|c| = 1

Jadi panjang proyeksi vektor a pada vektor b adalah 1.

b. Vektor proyeksi a pada b adalah :
c = |c| . (b/|b|)
c = 1 . (-1, 2, 2)/3
c = (-1/3, 2/3, 2/3)

Jadi vektor proyeksi a pada vektor b adalah (-1/3, 2/3, 2/3).

.C. Uji Latih Mandiri

1. Jika A = (3,2,1) , B = (0,1,2) dan C = (1,-1,3) , maka Luas segitiga ABC adalah…

Penyelesaian:

2. Jika P(2,1,2) , A(9,-6,2) dan B(2,-4,7) , maka sudut antara PA dan PB adalah…

Penyelesaian
:

3. Sudut antara dua vektor 3i – 6j + 3k dan -5j + 5k adalah…

Penyelesaian

4.Segi enam beraturan ABCDEF, vektor AB = u dan vektor AF = v, maka AB + AC + AD + AE + AF adalah…

Penyelesaian:

4. Panjang proyeksi vektor a = 3i + 6j + 9k pada vektor b = 2i – j +2k adalah…

Penyelesaian:

5.Diketahui vektor A = 2i + (m-2)j + 3k dan vektor B = (n-3)i + 6j +9k. Agar A sejajar B maka m + n =…

Penyelesaian:

6. Pada segi empat sembarang ABCD, titik P ditengah AC dan titik Q ditengah BD. Jika vektor PQ = u, maka AB + AD + CB + CD = …

Penyelesaian:

Penyelesaian:

1. semua x > 0 terdefinisi
2. jika x mendekati no maka nilai y besar sekali dan positif
3. untuk x=1 maka y=o
4. untuk x > 1 maka y negatif sehingga jika nilai x semakin besar maka nilai y semakin kecil.

1. untuk semua x > 0 terdefinisi
2. jika x mendekati no maka y kecil sekali dan negatif
3. untuk x=1 maka y=0
4. untuk x > 1 maka y positif sehingga jika x semakin besar maka y semakin besar.

1. 2.   Metode Substitusi
   Metode Substitusi Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode substitusi, terlebih dahulu kita n yatakan variabel yang satu ke dalam variabel yang lain dari suatu persamaan, kemudian menyubstitusikan (menggantikan) variabel itu dalam persamaan yang lainnya.
   Contoh:
   Dengan metode substitusi, tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 2x +3y = 6 dan x – y = 3

Contoh:

Dengan metode gabungan tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x – 5y = 2 dan x + 5y = 6 !

Penyelesaian:

Langkah pertama yaitu dengan metode eliminasi, diperoleh.

2x – 5y = 2 ×1 2x – 5y = 2

x + 5y = 6 ×2 2x +10y = 12

-15y = -10

y = (-10)/(-15)

y = 2/3

Kemudian, disubstitusikan nilai y ke persamaan x + 5y = 6 sehingga diperoleh.

x + 5y = 6

ó x + 5 (2/3) = 6

ó   x + 10/15 = 6

ó                 x = 6 – 10/15

ó                 x = 22/3

Jadi, himpunan penyelesaiaanya adalah {(2 2/3,2/3)}

Sistem pertidaksamaan dua variable

1. 2x ≥ 4; pertidaksamaan linear satu peubah
2. 3x + y < 0; pertidaksamaan linear dua peubah
3. x – 2y ≤ 3; pertidaksamaan linear dua peubah
4. x + y – 2z > 0; pertidaksamaan linear tiga peubah

Dalam postingan perpustakaan online kali ini kita hanya akan mempelajari pertidaksamaan linear dengan dua peubah. Gabungan dari dua atau lebih pertidaksamaan linear dua peubah disebut sistem pertidaksamaan linear dua peubah.

Contoh sistem pertidaksamaan linear dua peubah adalah sebagai berikut.
3x + 8y ≥ 24,
x + y ≥ 4,
x ≥ 0,
y ≥ 0.

1. Daerah Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Dua Peubah

Penyelesaian suatu pertidaksamaan linear dua peubah adalah pasangan berurut (x,y) yang memenuhi pertidaksamaan linear tersebut. Himpunan penyelesaian tersebut dinyatakan dengan suatu daerah pada bidang kartesius (bidang XOY) yang diarsir. Untuk lebih memahami daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dua peubah, pelajari contoh-contoh berikut.

Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear di bawah ini.
a. 2x + 3y ≥ 12             c. 4x – 3y < 12
b. 2x – 5y > 20                d. 5x + 3y ≤ 15

Penyelesaian:

a. Mula-mula dilukis garis 2x + 3y = 12 dengan menghubungkan titik potong garis dengan sumbu X dan sumbu Y.Titik potong garis dengan sumbu X berarti y = 0, diperoleh x = 6 (titik (6,0)).

Titik potong garis dengan sumbu Y berarti x = 0, diperoleh y = 4 (titik (0,4)).
Garis 2x + 3y = 12 tersebut membagi bidang kartesius menjadi dua bagian. Untuk menentukan daerah yang merupakan himpunan penyelesaian dilakukan dengan mengambil salah satu titik uji dari salah satu sisi daerah. Misalkan diambil titik (0,0), kemudian disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:

2 x0 + 3x 0 < 12
0 < 12

Jadi 0 ≥ 12 salah, artinya tidak dipenuhi sebagai daerah penyelesaian.

Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang tidak memuat titik (0,0), yaitu daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini.

 

b. Mula-mula dilukis garis 2x – 5y = 20 dengan menghubungkan titik potong garis di sumbu X dan sumbu Y.

Titik potong garis dengan sumbu X,  y = 0, diperoleh x = 10 (titik (10,0))
Titik potong garis dengan sumbu Y, x = 0, diperoleh y = –4 (titik (0,–4))

Garis 2x – 5y = 20 tersebut membagi bidang kartesius menjadi dua bagian. Untuk menentukan daerah yang merupakan himpunan penyelesaian dilakukan dengan mengambil titik uji dari salah satu sisi daerah. Misalkan diambil titik (0,0), kemudian disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:

2 x0 – 5 x0 > 20
0 > 20 (salah), artinya tidak dipenuhi.

Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang tidak memuat titik (0,0), yaitu daerah yang diarsir pada gambar.

c. Mula-mula dilukis garis 4x – 3y = 12 dengan menghubungkan titik potong garis di sumbu X dan sumbu Y.

Titik potong garis dengan sumbu X maka y = 0 diperoleh x = 3 (titik (3,0))
Titik potong garis dengan sumbu Y maka x = 0 diperoleh y = –4 (titik (0,–4))

Garis 4x – 3y = 12 tersebut membagi bidang kartesius menjadi dua bagian. Untuk menentukan daerah yang merupakan himpunan penyelesaian dilakukan dengan mengambil salah satu titik uji dari salah satu sisi daerah. Misalkan diambil titik (0,0), kemudian disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:

4 x0 – 3x 0 < 12
0 < 12 (benar), artinya dipenuhi sebagai daerah penyelesaian.

Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (0,0), yaitu daerah yang diarsir pada gambar di bawah.

 

d. Mula-mula dilukis garis 5x + 3y = 15 dengan menghubungkan titik potong garis di sumbu X dan sumbu Y.

Titik potong garis dengan sumbu X maka y = 0, diperoleh x = 3 (titik (3,0))
Titik potong garis dengan sumbu Y maka x = 0, diperoleh y = 5 (titik (0,5))

Garis 5x + 3y = 15 tersebut membagi bidang kartesius menjadi dua bagian. Untuk menentukan daerah yang merupakan himpunan penyelesaian dilakukan dengan mengambil salah satu titik uji dari salah satu sisi daerah. Misalkan diambil titik (0,0), kemudian disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:

5 x0 + 3x 0 ≤15
0 ≤ 15 (benar), artinya dipenuhi.

Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (0,0), yaitu daerah yang diarsir pada gambar.

Berdasarkan contoh di atas, cara menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dengan dua peubah dapat dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Lukislah garis ax + by = c pada bidang kartesius dengan menghubungkan titik potong garis pada sumbu X di titik (c/a ,0) dan pada sumbu Y di titik (0,c/b ).

2. Selidiki sebuah titik uji yang terletak di luar garis dengan cara menyubstitusikannya pada pertidaksamaan. Jika pertidaksamaan dipenuhi (benar), maka daerah yang memuat titik tersebut merupakan daerah himpunan penyelesaian. Jika pertidaksamaan tidak dipenuhi (salah), maka daerah yang tidak memuat titik uji merupakan daerah himpunan penyelesaian.

2. Daerah Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear

a. Menentukan Daerah Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear
Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua peubah adalah himpunan titik-titik (pasangan berurut (x,y)) dalam bidang kartesius yang memenuhi semua pertidaksamaan linear dalam sistem tersebut. Sehingga daerah himpunan penyelesaianny amerupakan irisan himpunan-himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan dalam sistem pertidaksamaan linear dua peubah itu. Agar kalian lebih mudah dalam memahami daerah penyelesaian dari sistem pertidak-samaan linear dua peubah, perhatikan contoh-contoh di bawah ini.

Contoh : Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut.
a. 3x + 5y ≤ 15               b. x + y ≤ 6
x ≥ 0                    2x + 3y ≤ 12
y ≥ 0                              x ≥ 1
y ≥  2

Penyelesaian:

a. Mula-mula gambar garis 3x + 5y =15, x = 0, dan y =0
Untuk 3x + 5y ≤ 15
Pilih titik (0,0), kemudian substitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:
3x 0 + 5x 0 ≤ 15
0 ≤ 15 (benar), artinya dipenuhi

Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuatntitik (0,0)
Untuk x ≥ 0, pilih titik (1,1) kemudian disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:
1 ≥ 0 (benar), artinya dipenuhi.

Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (1,1)
Untuk y ≥ 0, pilih titik (1,1) kemudian substitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:
1 ≥ 0 (benar), artinya dipenuhi.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (1,1).

Daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan merupakan irisan dari ketiga daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan di atas, yaitu seperti terlihat pada gambar berikut ini (daerah yang diarsir).

b. Mula-mula gambar garis x + y =6, 2x + 3y = 12, x = 1, dan y = 2. Untuk x + y ≤ 6, pilih titik (0,0), kemudian substitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:

1 x0 + 1 x0 ≤ 6
0 ≤ 6 (benar), artinya dipenuhi.

Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (0,0).
Untuk 2x + 3y ≤ 12, pilih titik (0,0), kemudian substitusikan ke pertidak-samaan sehingga diperoleh:

2 x0 + 3x 0 ≤ 12
0 ≤ 12 (benar), artinya dipenuhi.

Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (0,0).

Untuk x ≥ 1, pilih titik (2,1) kemudian disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh 2 ≥ 1 (benar), artinya dipenuhi. Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (2,1).

Untuk y ≥ 2, pilih titik (1,3) kemudian substitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh 3 ≥ 2 (benar), artinya dipenuhi. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (1,3).

Daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut merupakan irisan dari ketiga daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan di atas, yang seperti terlihat pada gambar di samping (daerah yang diarsir)

b. Menentukan Sistem Pertidaksamaan jika Daerah Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Peubah Diketahui

Cara menentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua peubah telah dipelajari sebelumnya. Sekarang bagaimana menentukan sistem pertidaksamaan jika daerah himpunan penyelesaiannya yang diketahui? Untuk itu simaklah beberapa contoh di bawah ini.

Contoh: Daerah yang diarsir di bawah ini merupakan daerah himpunan penyelesaiaan dari suatu sistem pertidaksamaan linear dua peubah. Tentukanlah sistem pertidaksamaan tersebut.

Penyelesaian:

a. Garis l1 melalui titik (2,0) dan (0,2), persamaan garis l1 adalah:

x/2 + y/2 = 1 menjadi x+y=2

Garis l2 melaui titik (1,0) dan (0,2), persamaan garis l2 adalah:

x/1 + y/2 = 1 menjadi 2x+y=2

Dari gambar terlihat bahwa daerah himpunan penyelesaian (yang diarsir) berada di bawah garis l1, di atas garis l2, di kanan sumbu Y, dan di atas sumbu X. Sistem pertidaksamaannya adalah:

x + y ≤ 2, 2x + y ≥ 2, x ≥ 0, dan y ≥  0

b. Garis l1 melalui titik (4,0) dan (0,4), persamaan garis l1 adalah:

x/4 + y/4 = 1 menjadi x+y=4

Garis l2 melalui titik (2,0) dan (0,–1), persamaan garis l2 adalah:

x/2 + y/-1 = 1 menjadi -x+2y = -2

x-2y  = 2

Dari gambar terlihat bahwa daerah himpunan penyelesaian (yang diarsir) berada di bawah garis l1, di atas garis l2, di kanan sumbu Y, dan di atas sumbu X. Sistem pertidaksamaannya adalah:

x + y ≤ 4, x – 2y ≤ 2, x ≥ 0, dan y ≥ 0

1. Pengertian Wawasan Nusantara

1. Menurut prof. Wan Usman, “Wawasan Nusantara adalah cara pandang bangsa Indonesia mengenai diri dan tanah airnya sebagai Negara kepulauan dengan semua aspek kehidupan yang beragam.”
2. Menurut GBHN 1998, Wawasan Nusantara adalah cara pandang dan sikap bangsa Indonesia mengenai diri dan lingkungannya, dengan dalam penyelenggaraan kehidupan bermasyarakat, berbangsa, dan bernegara.
3. Menurut kelompok kerja Wawasan Nusantara untuk diusulkan menjadi tap. MPR, yang dibuat Lemhannas tahun 1999, yaitu “cara pandang dan sikap bangsa Indonesia mengenai diri dan lingkungannya yang serba beragam dan bernilai strategis dengan mengutamakan persatuan dan kesatuan bangsa serta kesatuan wilayah dalam penyelenggaraan kehipan bermasyarakat, berbangsa, dan bernegara untuk mencapai tujuan nasional.”

2. Hakikat Wawasan Nusantara

3. Asas Wawasan Nusantara

1. Kepentingan yang sama. Ketika menegakkan dan merebut kemerdekaan, kepentingan bersama bangsa Indonesia adalah menghadapi penjajah secara fisik dari bangsa lain. Sekarang, bangsa Indonesia harus menghadapi penjajahan yang berbeda. Misalnya, dengan cara “adu domba” dan “memecah belah” bangsa dengan menggunakan dalih HAM, demokrasi, dan lingkungan hidup. Padahal, tujuan kepentingannya sama yaitu tercapainya kesejahteraan dan rasa aman yang lebih baik daripada sebelumnya.
2. Kesesuaian pembagian hasil dengan adil, jerih payah, dan kegiatan baik perorangan, golongan, kelompok maupun daerah.
3. Keberanian berpikir, berkata, dan bertindak sesuai realita serta ketentuan yang benar biar pun realita atau ketentuan itu pahit dan kurang enak didengarnya. Demi kebenaran dan kemajuan bangsa dan negara, hal itu harus dilakukan.
4. Diperlukan kerja sama, mau memberi, dan berkorban bagi orang lain tanpa meninggalkan ciri dan karakter budaya masing-masing.
5. Kerja Adanya  koordinasi,  saling  pengertian  yang  didasarkan  atas kesetaraan sehingga kerja kelompok, baik kelompok kecil maupun besar dapat mencapai sinergi yang lebih  baik.
6. Kesetiaan terhadap   kesepakatan   bersama   untuk   menjadi   bangsa   dan mendirikan Negara Indonesia yang dimulai, dicetuskan, dan dirintis oleh Boedi Oetomo Tahun 1908, Sumpah Pemuda Tahun 1928, dan Proklamasi Kemerdekaan     17 Agustus 1945. Kesetiaan terhadap kesepakatan ini sangat penting dan menjadi tonggak utama terciptanya persatuan dan kesatuan dalam kebhinekaan. Jika  kesetiaan  ini  goyah, dapat  dipastikan  persatuan dan   kesatuan   akan   hancur berantakan.