Salah satu materi dalam ilmu Matematika yang tidak boleh tertinggal adalah pembahasan sudut istimewa. Sudut ini dikatakan istimewa dengan alasan bisa diukur dengan mudah hanya dengan menggunakan perbandingan trigonometri saja.
Tanpa kalkulator, sudut-sudut ini bisa dengan mudahnya diukur. Sebenarnya sudut istimewa ini hanya ada lima sudut yang istimewa dalam trigonometri, yaitu sudut 0°, 30°, 45°, 60°, dan 90°. Tetapi, kali ini kami akan mencoba membahas sudut sudut istimewa trigonometri sampai 360 derajat.
Sudut-sudut istimewa dalam trigonometri adalah sudut mulai 0° sampai 360°. Sudut satu putaran penuh diartikan sebagai sudut 360°, dan dalam satu putaran penuh tersebut terbagi menjadi 4 kuadran.
Sehingga tiap-tiap kuadran terbagi menjadi rentang sudut 90°. Kuadran tersebut yaitu:
Berikut ini akan di jelaskan secara terperinci mengenai sudut-sudut tersebut, namun akan diawali dengan pengertian trigonometri sebagai dasar materi.
Trigonometri merupakan bagian dari ilmu Matematika yang secara khusus mempelajari mengenai hubungan antar sisi dan sudut suatu segitiga. Hubungan tersebut meliputi relasi dan fungsi dasar yang muncul. Dalam perhitungannya, trigonometri merupakan nilai perbandingan yang diperoleh pada segitiga siku-siku maupun koordinat kartesius.
Fungsi Trigonometri adalah sin (sinus), cos (cosines), tan (tangen), cosec (cosecant), sec (secant) dan cotan (cotangent). Fungsi dasar ini merupakan cara untuk menemukan besarnya sudut maupun sisi dari sebuah segitiga.
Sebelum ke pembahasan mengenai sudut istimewa secara spesifik, perlu diketahui bahwa segitiga terdiri dari tiga sisi, yaitu sisi samping, depan dan sisi miring. Sedangkan ketiga sudutnya jika dijumlahkan haruslah berjumlah 180°.
Ketiga sisi-sisi tersebut berguna untuk menghitung fungsi trigonometri. Untuk menghitung sin, maka sisi depan dibagi dengan sisi miring. Untuk menghitung cos, gunakan sisi samping dibagi dengan sisi miring. Untuk menentukan nilai tan, sisi depan dibagi dengan sisi miring. Sedangkan untuk menghitung cosec adalah 1/sinα. Untuk menghitung sec adalah 1/cosα. Dan yang terakhir adalah untuk menghitung cot, yaitu dengan rumus 1/tanα.
Oke kawan sebelum kita mulai membahas mengenai tabel trigonometri dan sudut-sudut istimewanya, Kamu dapat menyaksikan video dibawah terlebih dulu untuk mendalami semua hal yang berhubungan dengan trigonometri dasar.
Untuk memperoleh sudut 45°, bisa dimulai dengan persegi ABCD yang mempunyai panjang 1 satuan. Dengan membelah diagonalnya, maka akan diperoleh segitiga siku-siku ABC, dengan sudut siku-siku pada sudut C. Karena persegi merupakan sebuah sudut siku-siku, maka jika dibelah diagonalnya akan menjadi sudur 45°. Untuk mengetahui sisi miringnya, hanya perlu menggunakan rumus Phytagoras. Dengan menambahkan √12+12 maka diperoleh hasil √2 sebagai sisi miringnya.
Dengan begitu, akan diperoleh nilai seperti berikut ini:
Sin 45°= 1/√2= ½ √2.
Cos 45°= 1/√2= ½ √2.
Tan 45= 1/1=1
Kedua sudut ini akan disatukan di dalam pembahasan karena keduanya merupakan sudut yang berlawanan. Itu artinya bahwa keduanya mempunyai hubungan erat dalam mempengaruhi nilai satu sama lainnya. Untuk membahas sudut ini, sebaiknya digunakan segitiga sama sisi ABCD yang panjang sisinya adalah sepanjang 2 satuan. Jika segitiga tersebut dibagi menjadi dua melalui garis yang diambil dari tinggi segitiga, maka akan mendapatkan segitiga siku-siku dengan kedua sudut lainnya adalah 60° dan 30°.
Dengan menggunakan rumus phytagoras untuk menentukan tinggi segitiga tersebut, maka akan diperoleh tinggi sepanjang √3 satuan. Dengan dasar nilai dan angka tersebut, maka akan diperoleh nilai sin dan cos.
Sin 60°=√3/2 = ½ √3
Cos 60°=1/2
Tan 60=√3/1 = √3
Sedangkan untuk sudut 30° dengan perhitungan yang sama, maka akan diperoleh nilai sebagai berikut:
Sin 30°= ½
Cos 30°= √3/2 = ½ √3
Tan 30°= 1/√3= 1/3 √3
Sudut terakhir yang dibahas dalam sudut istimewa kali ini adalah 0 dan 90. Untuk pembahasan ini akan dimulai dari 0° terlebih dahulu.
Jika α = 0, maka sisi depannya adalah 0. Dengan begitu, akan diperoleh nilai
Sin 0°= 0
Cos 0°= 1
Tan 0°= 0
Sedangkan untuk sudut 90° akan diperoleh bahwa sisi alas mempunyai panjang 0. Dengan begini, maka akan diperoleh nilai:
Sin 90°= 1
Cos 90°= 1
Tan 90°= -
Dalam hal ini, kuadran merupakan area yang telah dibagi menjadi 4 bagian. Dalam lingkaran, rentang sudut adalah dari 0°-360°, dimana bagian tersebut dibagi menjadi 4 kuadran. Kuadran 1 adalah sudut dari 0° hingga 90°, kuadran ii adalah wilayah diatas kuadran I hingga 180°, kuadran 3 adalah wilayah diatas kuadran ii hingga 270°, dan wilayah kuadran 4 adalah diatas kuadran 3 hingga 360°.
Adapun ketentuan setiap kuadran adalah sebagai berikut:
Kuadran 1 memiliki nilai sin, cos dan tan yang positif.
Kuadran 2 memiliki nilai sin yang positif, namun memiliki nilai cos dan tan yang negatif.
Kuadran 3 memiliki nilai tan yang positif, namun memiliki nilai sin dan cos yang negatif.
Kuadran 4 memiliki nilai cos yang positif, namun memiliki nilai sin dan tan yang negatif.
Identitas trigonometri erat kaitannya dengan phytagoras. Phytagoras merupakan asal muasal identitas trigonometri terbentuk. Melalui fungsi trigonometri, identitas trigonometri juga diperoleh.
Lalu, apa yang dimaksud dengan identitas trigonometri? Identitas trigonometri adalah persamaan dari fungsi trigonometri yang mempunyai nilai benar, khususnya untuk setiap sudut dan sisi ruas yang terdefinisi. Identitas trigonometri dibagi menjadi tiga, yaitu identitas kebalikan, identitas perbandingan dan identitas phytagoras. Ketiganya akan dijelaskan dibawah ini.
Cosec α = 1/ sin α
Sec α = 1/cos α
Cot α = 1/ tan α
Tan α = Sin α /Cos α
Cot α = Cos α / Sin α
Cos2 α+ Sin2 α = 1
1 + tan2 α = Sec2 α
1 + Cot2 α = Cosec2 α
Kedelapan identitas tersebut bisa diperoleh dengan menggunakan grafik fungsi trigonometri. Dua identitas Phytagoras yang disebutkan terakhir merupakan turunan dari identitas sebelumnya yang diperoleh dengan membagi ruasnya.
Identitas trigonometri bisa dibuktikan dengan beberapa metode, yaitu substitute dan dengan mengubah bentuk aljabarnya. Contohnya adalah dengan mengubah bentuk ruas kiri menjadi bentuk menyerupai ruas kanan maupun sebaliknya dengan mengubah bentuk ruas kkanan menjadi menyerupai identitas ruas kiri.
Kunci dari pembelajaran Trigonometri dan sudut istimewa adalah bekerja pada setiap ruasnya dan mengikuti aturan ruas. Jika salah dalam mengubah atau memasukkan fungsi, maka hasilnya tidak bisa dibuktikan atau akan keluar dari jalur yang sebenarnya. Catatan penting bahwa tidak boleh menggunakan sifat yang berasal dari ruas keduanya secara langsung. Penjumlahan kedua ruas untuk persamaan tidak diperkenankan.
Ilmu trigonometri sangat penting untuk diketahui karena berguna bagi ilmu lainnya seperti Fisika, Astronomi, Geografi, dan Teknik lainnya. Ini berarti bahwa memahami trigonometri bukanlah sekedar untuk tahu, namun pengaplikasiannya akan berlangsung cukup lama.
Perlu juga diketahui bahwa nilai fungsi trigonometri untuk 5 sudut istimewa menggunakan teori geometri. Sedangkan nilai fungsi untuk sudut lainnya bisa dihitung dengan tabel atau alat bantu.
Untuk dengan mudah menggunakan rumus-rumus diatas, perlu memahami setiap rumus dan menghafalkannya. Menghafal rumus tanpa memahaminya justru akan sering lupa. Rajin praktek dengan mencoba mengotak-atik pada setiap kuadran juga perlu. Latihan seperti ini bisa meningkatkan dalam memahami fungsi dan identitas trigonometri, khususnya pada sudut istimewa yang berada di kuadran 1.
Pembahasan dasar diatas diharapkan menambah pemahaman mengenai sudut istimewa dan trigonometri, yang merupakan materi bertingkat sedang untuk dipahami. Dengan memahami ilmu dasarnya, diharapkan agar bisa mengikuti materi trigonometri di tingkat yang lebih tinggi.
Tanpa kalkulator, sudut-sudut ini bisa dengan mudahnya diukur. Sebenarnya sudut istimewa ini hanya ada lima sudut yang istimewa dalam trigonometri, yaitu sudut 0°, 30°, 45°, 60°, dan 90°. Tetapi, kali ini kami akan mencoba membahas sudut sudut istimewa trigonometri sampai 360 derajat.
Sudut-sudut istimewa dalam trigonometri adalah sudut mulai 0° sampai 360°. Sudut satu putaran penuh diartikan sebagai sudut 360°, dan dalam satu putaran penuh tersebut terbagi menjadi 4 kuadran.
 |
| math-only-math.com |
Sehingga tiap-tiap kuadran terbagi menjadi rentang sudut 90°. Kuadran tersebut yaitu:
- Kuadran I dari 0° sampai 90°
- Kuadran II dari 90° sampai 180°
- Kuadran III dari 180° sampai 270°
- Kuadran IV dari 270° sampai 360°
Berikut ini akan di jelaskan secara terperinci mengenai sudut-sudut tersebut, namun akan diawali dengan pengertian trigonometri sebagai dasar materi.
Pengertian Trigonometri
Trigonometri merupakan bagian dari ilmu Matematika yang secara khusus mempelajari mengenai hubungan antar sisi dan sudut suatu segitiga. Hubungan tersebut meliputi relasi dan fungsi dasar yang muncul. Dalam perhitungannya, trigonometri merupakan nilai perbandingan yang diperoleh pada segitiga siku-siku maupun koordinat kartesius.
Fungsi Trigonometri adalah sin (sinus), cos (cosines), tan (tangen), cosec (cosecant), sec (secant) dan cotan (cotangent). Fungsi dasar ini merupakan cara untuk menemukan besarnya sudut maupun sisi dari sebuah segitiga.
Sebelum ke pembahasan mengenai sudut istimewa secara spesifik, perlu diketahui bahwa segitiga terdiri dari tiga sisi, yaitu sisi samping, depan dan sisi miring. Sedangkan ketiga sudutnya jika dijumlahkan haruslah berjumlah 180°.
Ketiga sisi-sisi tersebut berguna untuk menghitung fungsi trigonometri. Untuk menghitung sin, maka sisi depan dibagi dengan sisi miring. Untuk menghitung cos, gunakan sisi samping dibagi dengan sisi miring. Untuk menentukan nilai tan, sisi depan dibagi dengan sisi miring. Sedangkan untuk menghitung cosec adalah 1/sinα. Untuk menghitung sec adalah 1/cosα. Dan yang terakhir adalah untuk menghitung cot, yaitu dengan rumus 1/tanα.
Video Pelajaran Trigonometri Dasar
Oke kawan sebelum kita mulai membahas mengenai tabel trigonometri dan sudut-sudut istimewanya, Kamu dapat menyaksikan video dibawah terlebih dulu untuk mendalami semua hal yang berhubungan dengan trigonometri dasar.
Tabel Trigonometri Kuadran I
Sudut Istimewa 45°
Untuk memperoleh sudut 45°, bisa dimulai dengan persegi ABCD yang mempunyai panjang 1 satuan. Dengan membelah diagonalnya, maka akan diperoleh segitiga siku-siku ABC, dengan sudut siku-siku pada sudut C. Karena persegi merupakan sebuah sudut siku-siku, maka jika dibelah diagonalnya akan menjadi sudur 45°. Untuk mengetahui sisi miringnya, hanya perlu menggunakan rumus Phytagoras. Dengan menambahkan √12+12 maka diperoleh hasil √2 sebagai sisi miringnya.
Dengan begitu, akan diperoleh nilai seperti berikut ini:
Sin 45°= 1/√2= ½ √2.
Cos 45°= 1/√2= ½ √2.
Tan 45= 1/1=1
Sudut Istimewa 30° dan 60°
Kedua sudut ini akan disatukan di dalam pembahasan karena keduanya merupakan sudut yang berlawanan. Itu artinya bahwa keduanya mempunyai hubungan erat dalam mempengaruhi nilai satu sama lainnya. Untuk membahas sudut ini, sebaiknya digunakan segitiga sama sisi ABCD yang panjang sisinya adalah sepanjang 2 satuan. Jika segitiga tersebut dibagi menjadi dua melalui garis yang diambil dari tinggi segitiga, maka akan mendapatkan segitiga siku-siku dengan kedua sudut lainnya adalah 60° dan 30°.
Dengan menggunakan rumus phytagoras untuk menentukan tinggi segitiga tersebut, maka akan diperoleh tinggi sepanjang √3 satuan. Dengan dasar nilai dan angka tersebut, maka akan diperoleh nilai sin dan cos.
Sin 60°=√3/2 = ½ √3
Cos 60°=1/2
Tan 60=√3/1 = √3
Sedangkan untuk sudut 30° dengan perhitungan yang sama, maka akan diperoleh nilai sebagai berikut:
Sin 30°= ½
Cos 30°= √3/2 = ½ √3
Tan 30°= 1/√3= 1/3 √3
Sudut Istimewa 0° dan 90°
Sudut terakhir yang dibahas dalam sudut istimewa kali ini adalah 0 dan 90. Untuk pembahasan ini akan dimulai dari 0° terlebih dahulu.
Jika α = 0, maka sisi depannya adalah 0. Dengan begitu, akan diperoleh nilai
Sin 0°= 0
Cos 0°= 1
Tan 0°= 0
Sedangkan untuk sudut 90° akan diperoleh bahwa sisi alas mempunyai panjang 0. Dengan begini, maka akan diperoleh nilai:
Sin 90°= 1
Cos 90°= 1
Tan 90°= -
Tabel Trigonometri Kuadran 2
Tabel Trigonometri Kuadran 3
Tabel Trigonometri Kuadran 4
Ketentuan dalam kuadran
Dalam hal ini, kuadran merupakan area yang telah dibagi menjadi 4 bagian. Dalam lingkaran, rentang sudut adalah dari 0°-360°, dimana bagian tersebut dibagi menjadi 4 kuadran. Kuadran 1 adalah sudut dari 0° hingga 90°, kuadran ii adalah wilayah diatas kuadran I hingga 180°, kuadran 3 adalah wilayah diatas kuadran ii hingga 270°, dan wilayah kuadran 4 adalah diatas kuadran 3 hingga 360°.
Adapun ketentuan setiap kuadran adalah sebagai berikut:
Kuadran 1 memiliki nilai sin, cos dan tan yang positif.
Kuadran 2 memiliki nilai sin yang positif, namun memiliki nilai cos dan tan yang negatif.
Kuadran 3 memiliki nilai tan yang positif, namun memiliki nilai sin dan cos yang negatif.
Kuadran 4 memiliki nilai cos yang positif, namun memiliki nilai sin dan tan yang negatif.
Identitas Trigonometri
Identitas trigonometri erat kaitannya dengan phytagoras. Phytagoras merupakan asal muasal identitas trigonometri terbentuk. Melalui fungsi trigonometri, identitas trigonometri juga diperoleh.
Lalu, apa yang dimaksud dengan identitas trigonometri? Identitas trigonometri adalah persamaan dari fungsi trigonometri yang mempunyai nilai benar, khususnya untuk setiap sudut dan sisi ruas yang terdefinisi. Identitas trigonometri dibagi menjadi tiga, yaitu identitas kebalikan, identitas perbandingan dan identitas phytagoras. Ketiganya akan dijelaskan dibawah ini.
Identitas kebalikan:
Cosec α = 1/ sin α
Sec α = 1/cos α
Cot α = 1/ tan α
Identitas perbandingan
Tan α = Sin α /Cos α
Cot α = Cos α / Sin α
Identitas Phytagoras:
Cos2 α+ Sin2 α = 1
1 + tan2 α = Sec2 α
1 + Cot2 α = Cosec2 α
Kedelapan identitas tersebut bisa diperoleh dengan menggunakan grafik fungsi trigonometri. Dua identitas Phytagoras yang disebutkan terakhir merupakan turunan dari identitas sebelumnya yang diperoleh dengan membagi ruasnya.
Identitas trigonometri bisa dibuktikan dengan beberapa metode, yaitu substitute dan dengan mengubah bentuk aljabarnya. Contohnya adalah dengan mengubah bentuk ruas kiri menjadi bentuk menyerupai ruas kanan maupun sebaliknya dengan mengubah bentuk ruas kkanan menjadi menyerupai identitas ruas kiri.
Kunci dari pembelajaran Trigonometri dan sudut istimewa adalah bekerja pada setiap ruasnya dan mengikuti aturan ruas. Jika salah dalam mengubah atau memasukkan fungsi, maka hasilnya tidak bisa dibuktikan atau akan keluar dari jalur yang sebenarnya. Catatan penting bahwa tidak boleh menggunakan sifat yang berasal dari ruas keduanya secara langsung. Penjumlahan kedua ruas untuk persamaan tidak diperkenankan.
Ilmu trigonometri sangat penting untuk diketahui karena berguna bagi ilmu lainnya seperti Fisika, Astronomi, Geografi, dan Teknik lainnya. Ini berarti bahwa memahami trigonometri bukanlah sekedar untuk tahu, namun pengaplikasiannya akan berlangsung cukup lama.
Perlu juga diketahui bahwa nilai fungsi trigonometri untuk 5 sudut istimewa menggunakan teori geometri. Sedangkan nilai fungsi untuk sudut lainnya bisa dihitung dengan tabel atau alat bantu.
Untuk dengan mudah menggunakan rumus-rumus diatas, perlu memahami setiap rumus dan menghafalkannya. Menghafal rumus tanpa memahaminya justru akan sering lupa. Rajin praktek dengan mencoba mengotak-atik pada setiap kuadran juga perlu. Latihan seperti ini bisa meningkatkan dalam memahami fungsi dan identitas trigonometri, khususnya pada sudut istimewa yang berada di kuadran 1.
Pembahasan dasar diatas diharapkan menambah pemahaman mengenai sudut istimewa dan trigonometri, yang merupakan materi bertingkat sedang untuk dipahami. Dengan memahami ilmu dasarnya, diharapkan agar bisa mengikuti materi trigonometri di tingkat yang lebih tinggi.
